2º ESO Problemas de Divisibilidad

PROBLEMAS DE DIVISIBILIDAD MCD Y mcm

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE DIVISIBILIDAD, MCD y mcm.

1.- Los alumnos de una clase deben calcular las dimensiones de su aula sabiendo que su área tiene 48 metros cuadrados.

a) ¿Cuáles son las dimensiones posibles si sus lados son números naturales?.

b) ¿Cuáles son las dimensiones reales si son las que más se aproximan a un cuadrado?

a) Como el área de un rectángulo es A= b.h. Tengo que buscar números naturales cuyo producto sea 48, es decir los divisores de 48.

D(48)= ( 1,2,3,4,6, 8 , 12, 16, 24, 48 ).

Las dimensiones podrán ser: 2m x 24m, 3m x 16m, 4m x 12m y 6m x 8m

b) Las dimensiones del aula que más se aproximan a un cuadrado serán; 6m x 8m

2.-Para hacer un truco de magia se utiliza una baraja francesa de 52 carta. ¿De cuántas maneras distintas puede hacer los montones para realizar su truco?

52. = ( 1,2,4,13,26,52)

Solución: De 6 formas: 1 montón de 52, 2 montones de 26, 4 montones de 26 y viceversa)

3.- Una tinaja se puede llenar de agua con recipientes de 2, 3,4 ,5 y 6 litros, vaciando siempre un número exacto de recipientes llenos. ¿Cuántos litros tiene la tinaja si tiene menos de 100l.?

Si la tinaja se puede llenar en recipientes de ese nº de litros, debemos buscar un múltiplo común a 2, 3,4 ,5 y 6 litros. Que no sobrepase la centena.

mcm(2, 3,4 ,5 y 6 ) = 60 l. Como el siguiente múltiplo común sería el 120 la única posiblidad sería 60. Sol. La tinaja tiene 60 l.

4.- Un almacén mide 8m de largo, 6 m. de ancho y 4 de alto. Se va a almacenar la mercancía en cajas cúbicas.

a) ¿Cuáles son las dimensiones máximas que pueden tener las cajas?

b) ¿Cuántas cajas se pueden almacenar?

a) Al ser cajas cúbicas las dimensiones debe ser divisores comunes al largo, ancho y alto del almacén. MCD(8, 6 y 4) = 2.. Dimensón máxima 2m x 2m x 2m

b) Hay varias formas de hacer este apartado, una sería:

V. del almacen= a.b.c. V= 8 . 6.4 = 192m3

V de las cajas. V= 2 . 2. 2 = 8m3

192: 8 = 24 cajas.

5.-Se quiere dividir un solar rectangular de 180m de largo por 120m.de ancho en partes cuadradas de máxima área.

a) ¿Cuál debe ser la medida del lado?

b)¿ En cuántas parcelas se dividirá?

a) La medida deben ser divisores comunes a 180 y 120 para que no sobre ningún metro y sean parcelas cuadradas.

MCD( 180 y 120) = 60m. Sol: La medida de cada lado será 60m.

b) 180m : 60m. = 3 parcelas en el largo

120m: 60m= 2 parcelas en el ancho.

Total 3 . 2 = 6. Sol.: Se dividirá e 6 parcelas.

6.-Se quiere embalar por separado, 48 botellas de refresco y72 botellas de leche en cajas iguales y los más grande posible.

a)¿Cuál será el número de botellas en cada caja?

b)¿Cuántas cajas habrá?

a) Para que no se mezclen las botellas de refresco con las de leche deberé buscar el mayor divisor común y así no sobrará ninguna botella.

MCD (48 y 72) = 24. Sol. 24 botellas en cada caja.

b) De leche 72: 24 = 3

de refresco 48: 24= 2

Sol 2 + 3 = 5 cajas en total 

 

7)Un barco de pasajeros sale de un puerto cada 30 días, otro cada 40 días y un tercero cada 50 días.

Si hoy salen a la vez del puerto. ¿Cuándo volverán a salir juntos?

Tendré que buscar múltiplos comunes a los días en que salen los pasajeros.

mcm(30,40 y 50) = 600 A los 600 días o aproximadamente a os 20 meses

8.-En una carrera de motos, los tres primeros participantes tardan en dar una vuelta al circuito 100, 120 y 130 segundos respectivamente.

a) Si mantuvieran el ritmo ¿Cuánto tiempo tardarían en pasar de nuevo los tres juntos por la línea de meta?

b) Cuántas vueltas ha dado cada uno en ese tiempo?

a) Buscamos buscar múltiplos comunes a los segundos en que tardan en dar la vuelta al circuito.

mcm( 100, 120 y 130) = 7.800. Sol: 7.800 segundos ó 130 minutos .

b) La 1ª moto: 7.800: 100= 78 vueltas

La 2ª moto: 7.800 : 120 : 65 vueltas

La 3ª moto : 7.800 : 130 : 60 vueltas 

 

9.- Dos ruedas de un rodamiento tienen 48 y 80 dientes, respectivamente. ¿Cuántas vueltas tendrá que dar la mayor para que vuelvan a coincidir los dos dientes iniciales?

Primero debemos calcular el mcm de los dientes de las dos ruedas:

mcm(48 y 80) = 240 dientes.

Como la rueda mayor tiene 80 dientes, si dividimos: 240: 80= 3 Sol. 3 vueltas

10.- Los alumnos del taller de tecnología están elaborando un artilugio de luces. Está dividido en tres juegos. El primer juego se enciende cada 12”; el segundo cada18”, y el tercero cada 32”. Si a las 8 de la noche se encienden los tres grupos de luces

a) ¿A qué hora volverán a coincidir encendidas?

b)Cuántas veces se encenderá cada una hasta en ese tiempo?

a) Coincidirán en el primer múltiplo común de los tres tiempos.

mcm ( 12,18 y 32 ) = 288 sg. A continuación pasamos los segundos a minutos. 288:60 = 4 minutos y 48 sg. Sol. Se encederán de nuevo a las 8h. 4 min. Y 48 sg.

b) 1er. juego de luces. 288: 12= 24.

2º juego de luces. 288: 18= 16

3º juego de luces. 288: 32= 9 Sol. 24, 16 y 9 veces cada juego de luces